多时滞混合型微分方程的数值稳定性
作者：文阅期刊网 来源：文阅编辑中心 日期：2022-06-17 08:48人气：
摘 要：研究了一类具有多时滞混合型分段连续常微分方程的数值稳定性。首先，得到了解析解渐近稳定的条件；其次，方程采用Euler-Maclaurin方法，并证明了该算法的收敛性；第三，得到了数值稳定区域包含解析稳定区域的充要条件；最后，通过一些数值实验对结果进行了验证。
关键词: Euler-Maclaurin方法; 解析解;数值解,渐近稳定;收敛;
Numerical Stability of Differential Equations of Mixed Type with Multi-Delays
YIN Hefan
School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Technology
Abstract：
The paper studies the numerical stability of a differential equation with piecewise constant arguments of mixed type with multi-delays. Firstly, the asymptotic stability condition of the analytic solution is obtained. Secondly, the Euler-MacLaurin method is used for the equation, and the convergence of the algorithm is proved. Thirdly, the sufficient and necessary conditions for the numerically stable region to contain the analytically stable region are obtained. Finally, the results are verified by some numerical experiments.
Keyword：
Euler-Maclaurin; analytic solution; numerical solution; asymptotic stability; convergence;
近年来，分段连续型常微分方程（简称EP⁃CA），作为一类特殊的时滞微分方程，是学者们研究的热点问题之一。EPCA理论在文献[1,2]中被提出，后来，这种形式的微分方程被许多作者进行了研究，例如文献[3,4,5,6]。而学者们对于EPCA的研究热情来自于它兼容了微分方程和差分方程的特性，这也使得EPCA在种群生物学[7,8]、神经网络[9,10]、捕食者-食饵模型[11]、流行病学[12,13,14]等方面发挥着重要的作用。
由于这类方程结构上的复杂性，想要准确的求解方程是很困难的。因此，有必要研究EPCA的数值方法。目前，关于EPCA数值解的动力学性质研究越来越多，例如振动性[15,16]、稳定性[17,18]和收敛性[19,20]。本文讨论了多时滞混合型EPCA数值方法的收敛性和稳定性。
考虑下列分段连续常微分方程
其中a,ai(i=0,1,2),x0和x1是实常数，[·]表示取整函数。
这类方程的一般形式是
其中参数α(t),β(t）和γ(t）是分段连续函数。由于方程（1）中的[t]是滞后型，[t+1]和[t+2]是向前型，所以我们称方程（1）为带有三个延迟项[t],[t+1]和[t+2]的混合型EPCA。
本文的结构如下：在第一部分，我们考虑方程（1）的稳定性分析；在第二部分，讨论了Eu⁃ler⁃Maclaurin方法的收敛性和稳定性；第三部分给出了数值模拟来支持我们的分析结果；第四部分来总结本文所得到的结果。
1稳定性分析
定义1[21]方程（1）在[0，∞）上的解x(t）满足下列条件：
(1)x(t）在[0，∞）上连续；
(2）导数x′（t）在[t]∈[0，∞）的点上存在单侧导数，在t∈[0，∞）的其他点上存在导数；
(3)x(t）在每个区间[n,n+1）⊂[0，∞）上满足方程（1）。
引理1[22]方程（1）在[0，∞）上有唯一解
其中{t}是t的小数部分，并且
λ1和λ2是方程
的根。
定义2如果方程（1）的解x(t）满足
那么方程（1）的零解称为渐近稳定的。
引理2[23]方程λ2-A1λ-A2=0的根的模小于1的充要条件是A2<1和A1<1-A2。
引理3[21]方程（1）的解是渐近稳定的等价于（6）的根的模满足不等式∣λ1∣<1，∣λ2∣<1。
定理1方程（1）的零解是渐近稳定的充要条件是
证明由引理3可得，方程（1）的解是渐近稳定的等价于特征方程
的根满足∣λi∣<1,i=1,2。
由引理2有
整理得
故命题得证。
定义3使得方程（1）渐近稳定的所有点（a,a0,a1,a2）的集合被称为渐近稳定区域，记为H。
因此，我们得到
我们把H*分成如下所示的两个区域：
2数值稳定性
2.1 Euler⁃Maclaurin方法和收敛性
首先引入Bernoulli数与Bernoulli多项式，有
其中Bj和Bj(x),j=0,1,2…分别为Bernoulli数和j次Bernoulli多项式。
引理4[24]Bj和Bj(x）有下列特征：
引理5[25]假设f(x）在区间[ti,ti+1]上有2n+3阶连续导数，则有
事实上，对于每一个区间[k,k+1），方程（1）是一个常微分方程。导数x(j)(t）在每个区间[k,k+1）上存在，对于j=0,1,2…，假设
则有
将（9）应用到（8），得到如下迭代公式：
由i=km+l,l=0,1，…，m-1，式（10）可以表示为
其中，函数是Euler-Maclaurin方法的稳定函数。
定理2对任意给定的n∈N,Euler⁃Ma⁃claurin方法是2n+2阶的。
证明令km≤i<(k+1)m-1，由引理5及f(t)=x′（t）有
令i=(k+1)m-1，则对任意的0<ε<h，有
在方程（14）中，令ε→0+，可得对于i=(k+1)m-1，有（12）成立。假设
由式我们有
所以定理成立。
2.2稳定性分析
定义4对于方程（1），式子（10）在（a,0,a1,a2）处成为渐近稳定的充要条件是存在M，对于所有的
定义5对于方程（1），使得式（10）渐近稳定的所有点（a,a0,a1,a2）的集合被称为渐近稳定区域，用S表示。
推论1当n→∞时，xn→0的充要条件是当k→∞时，xkm→0。
定理3方程（1）的数值解是渐近稳定的充要条件是
证明根据推论1，我们可以得到方程（1）的所有数值解是渐近稳定的充要条件是当k→∞时，xkm→0。由（11）、（12）可知，当k→∞时，xkm→0的充要条件是特征方程
的根位于复平面的开单位圆盘内，即∣λi∣<1,i=1,2。
由引理2有
整理得
故命题得证。
由定义5和定理3，我们得到
把S*分成下面两个区域：
接下来我们只需要找到满足Hi⊆Si,i=1,2的条件即可。
引理6[24]如果∣z∣≤1，那么对于z>0，有φ（z）≥1/2；对于z≤0，有φ（z）≥1。
引理7[24]如果∣z∣≤1，那么
(1）,n为偶数；
(2）,n为奇数。
定理4 H1⊆S1的充要条件是n为偶数。
证明令（a,a0,a1,a2）∈H1，那么a+a0+a1+a2<0和H1⊆S1成立当且仅当
等价于
如果a>0，因为函数都是递减的，所以有
即
由引理7可知，n为偶数，同理可证a<0的情况，故命题得证。
定理5 H2⊆S2的充要条件是n为奇数。
证明：类似于定理4的证明。
3数值实验
考虑下列方程：
取t=10，方程（19）的解析解为x(10）≈-0.130 2。表1列举了Euler-Maclaurin方法在n=2时的绝对误差（AE）和相对误差（RE），以及m=50和m=100情况下误差的比率。从表1可以看出，Euler-Maclaurin方法的收敛阶为6，也就是说，数值方法保持了收敛阶。
进一步，由（19）易知，a=-5,a0=-0.5,a1=3,a2=-2，故（-5,-0.5,3,-2）∈H1，同时有
即（7）式成立，所以方程（19）的解析解是渐近稳定的。
另外，取m=50,n=2，有（-5,-05,3,-2）∈S1并且
即（15）式成立，所以方程（19）的数值解是渐近稳定的。
在图1中，我们做出了方程（19）的解析解和数值解的图像，从图1不难看出，数值方法保持了方程（19）的稳定性。对于方程（20），可以同理验证（见图2）。
4结语
本文考虑了多时滞混合型EPCA数值解的收敛性和稳定性。结果表明，Euler-Maclaurin方法的收敛阶是2n+2。通过运用差分方程的特征理论，给出了数值稳定区域包含解析稳定区域的条件。在今后的工作中，我们将考虑非线性问题和分数阶问题。
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